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什么是应变(Strain)

归档日期:09-16       文本归类:纯应变      文章编辑:爱尚语录

  应变(strain)是连续介质力学中一个非常重要的概念,其是为了定量地描述物体变形(伸缩与扭转)而引入的。一般地,我们需将应变定义为一个无量纲的数,如在一维情况下:

  其中,是变形后的长度,是原长。能这样定义应变的前提是变形场是均匀的,即每个点的应变都相同(等于总的平均应变),因此可采用总的长度变化来定义每个点的应变。

  以上4个式子尽管形式不同,但都定量地描述变形。如若时,上述四个式子结果都等于(或约等于)0.01。这说明在小变形下,这些应变近似相等。实际的应变定义也是门派林立,如工程应变,Hencky应变,Green应变,Cauchy应变,Alamansi应变等。在弹性力学里,应变一般是指Cauchy应变。值得一提的是,有两个厉害的家伙,将各种应变统一起来了,这就是塞斯-希尔应变度量(Seth-Hill Strain measure),这可谓应变定义的“大一统”工作。就科学史而言,strain一词源于William John Macquorn Rankine于1851年的论文。

  对物体中的任一点,当物体变形时,该点会发生相应的位移,新坐标变为,则该点的位移为。注意是的函数,则也是的函数()。

  一般地,考查物体中无限邻近的两个任意点,若变形前这两点之间的径矢为;物体变形后,这一径矢变为。则物体变形前,这两点之间距离的平方为:

  显然,因此应变是一个对称张量 (xudy:什么是张量(tensor)?),且无量纲。该应变张量为Green应变,其物理意义是现长度平方与原长度平方的差与原长平方之比的一半。

  对称是一个非常好的性质。根据线性代数知识,对称意味着应变张量可以对角化,且特征向量是相互正交的。那么,对任何一个点,总可以找到相互正交的坐标系——在其中,只有对角分量()不为0,其他非对角分量都为0。这样的坐标轴(主轴)就是应变张量的特征向量,而相应的对角分量(主值)为特征值()。所以,应变张量的对称性是主轴存在的根本原因。

  这就是在弹性力学里应变张量的定义(Cauchy应变),其必须在小变形假设下才能成立。此处应注意区分位移与应变,位移指物体各点空间位置的改变,应变指物体内部的伸缩与扭转。 当物体位移很大时,其可能也是小应变甚至无应变(如刚体运动)。

  平面应变是弹性力学里一个非常重要的概念,很多实际问题可简化为平面应变问题,其具有非常广泛的应用。这个概念非常简单,实质就是应变集中在一个平面内,在另外一个方向上(长轴)的所有应变都为0。此时,应变张量矩阵为(假设长轴为方向):

  应注意:在平面应变问题中,长轴方向应力不等于0,因为其用于平衡由于另两个方向变形导致长轴方向的变形,保证等于0;或从应力应变关系,也能很好的证明。此时,应力张量为:

  在应变学习过程中,经常会用一个二维微元体来进行推导,如图所示。但有的书推导过程写的不够详细,有的地方可能会对我们理解造成困难,在此做一个补充。

  初始状态(参考构形)无穷小的微元体ABCD长宽分别为dx,dy。经过变形,变成了微元体abcd(当前构形),若a点相对于A点的坐标是,则:

  解释:B与A相差dx,因此b与a只是在dx方向上变化,同理可得c,d坐标。

  根据小变形假设,利用泰勒展开式,忽略二阶及以上的项,可得图中所标的各量。

  而恰好是B点到b点前虚线之间x方向上的间距,因此b相对其前面的虚线长度为。

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